构建“教—学—评”一致的初中数学作业——以人教版初中数学教材九年级上册“配方法”一课为例

姜翠多 姜孟鸿 范连众

（大连市第三十中学，大连市甘井子区教师进修学校）

2022年4月，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）正式颁布，与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）不同的是，新课标不仅给出了学习内容的内容要求和教学提示，还专门制定了数学课程学业质量标准，将“教”“学”“评”这三个数学教学的重要方面紧紧地联系在一起。数学课程学业质量是对学生数学学习表现的整体反映，直接反映学生经过一段时间的课程学习所达到的学业水平，是学生核心素养在具体学段、具体学科中的体现。数学作业是数学课程的重要内容，是课堂教学的补充和延续，同样应该以“教—学—评”的一致性作为设计原则，以立德树人为根本目标，突出学科实践、整体建构和因材施教的课程改革特征。

课后的练习、作业或实践是课堂的延续，通过各种类型的课外作业，学生在课内学到的知识、技能能够更加巩固与完善。华东师范大学叶澜教授对作业的定义是：作业是学生的学习产品，产品是否合格不仅表明学生的学习质量，而且反映了教师的教学质量。课外作业应少而精，形式多样化，作业的要求要具体，要设计针对差异的、可供选择的作业。

作业改革的本质应该是对作业功能的发展。依据不同的功能，作业可分为引导预习的作业、促进理解的作业、提高熟练度的作业、帮助记忆的作业、意在学习诊断的作业、补偿性的作业、促进习惯养成的作业、促进知识体系形成的作业、用以组织教学进程的作业等多种类型。作业研究的实质是关注“学”的研究，即在作业内容上，以核心素养为依据，选择有意义的学习任务；
在作业形式上，以学生的学习兴趣为依据，注意作业与学习内容的匹配；
在作业布置上，注意时机的把握，保持作业任务与教学进度的一致性；
在作业操作过程中，根据学生的学习能力，进行必要的指导与帮助；
在作业的反馈上，关注作业功能作用的发挥，注重开展有效讲评。

作业设计是基于某些教学目标，通过选择重组、改变完善或者自主开发等形式形成作业的过程。作业设计应符合新课标的要求，应根据教材的内容要求进行，不仅要巩固和复习基础知识，还应培养学生立足于全面发展的核心素养。基于这种理念，学生需要的不是单调重复的作业，而是能启迪智慧、养成思路的作业。实践创新是核心素养的重要组成部分，在作业设计中，教师应引导学生能够善于发现问题和提出问题，并能够结合实际情况，制定出解决问题的策略，这对于学生综合能力的发展是有巨大帮助的。所以，在设计作业时教师要加强问题的综合性，让学生接受挑战，收获成功。同时，还要利用“互联网+”提高作业交流的互动性，设计辩论、讨论性质的作业，保证学生的整体参与。

在以往的作业设计中，利用好教材中的作业并对其进行补充依然是教师最广泛的操作方式，补充的主要来源有历年来的中考试题、模拟试题以及市场上大量的教辅材料。教师依据学情，真正进行自主设计作业还做得很不够。以人教版数学教材九年级上册“解一元二次方程”的第一节“配方法”为例，教科书在第17 页给出了两个作业题，一个是第二题填空，给出了4 道小题，学生根据给出的二次项系数和一次项系数去填写一个完全平方式的常数项。第三题是直接利用配方法解4 个方程。这几道题都是在“复习巩固”栏目中出现，属于基础性习题，完成时间预计为15 分钟以内。显然，这些作业满足不了九年级学生的需求，为此，教师会布置一定量的习题，借鉴中考试题中的相关考法，按题型和难度对作业进行分层设计。下面的作业设计，基本反映了大多数基层学校的作业设计现状。

【必做作业部分】

选择题：

1.用配方法解方程x2-8x+5=0，正确的变形为（ ）

A.（x-6）2=11 B.（x-4）2=11

C.（x-4）2=-11 D.以上都不对

2.方程（x+2）2=4的根为（ ）

A.x1=4，x2=-4 B.x1=-4，x2=0

C.x1=0，x2=2 D.x1=4，x2=0

3.对一元二次方程x2-ax= 3 进行配方时，两边同时加上（ ）

填空题：

1.x2+6x+____=（x+____）22.x2-x+____=（x+____）2

3.4x2-4x+____=（2x+____）2

4.x2-+____=（x-____）2

用配方法解下列方程：

1.x2+10x+16=0

2.x2-x-=0

3.3x2+6x-5=0

4.4x2-x-9=0

必做题部分的选择题1、2 题均是由教材例1 的题目改编而来，让学生理解配方法。第3 题是根据配方法的探究过程设计的原创题，在理解配方法的基础上进行符号意识的训练。填空题和解答题是教材上习题2和练习3的原题，进一步熟练配方法的步骤，准确规范的运算，培养运算能力。题目总体难度系数0.9，预计学生10～15分钟完成。

【选做作业部分】

1.若代数式M=10a2+b2-7a+8，N=a2+b2+5a+1，则M-N的值一定是正数。

该题目来源于教辅材料，是配方法的应用，提升学生的数感、运算能力、代数推理等综合能力。题目难度系数0.6，预计学生5分钟完成。

2.求代数式x2+8x+17的最小值。

该题目来源于教材第22 章二次函数的应用计算部分，让学生综合能力得以锻炼的同时，感受数学知识与方法的联系，主动构建知识体系，提升数学学习兴趣。题目总体难度系数0.3，预计学生5 分钟完成。

上述作业设计的基本思路实质上是根据考试评价中试题的情况，并不是从学生怎么学，教师怎样教，学生是否实现了课程目标的角度去思考，这就需要我们改变理念，重新思考。

（一）目标设计

新课标对配方法解一元二次方程的内容要求是：理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程。这里的理解，要求学生能描述配方法的由来、内涵和特征，阐述配方法与相关方法之间的区别和联系。其中描述由来，可以体现学习配方法的必要性，描述配方法的内涵与特征，是运用配方法解方程的保障。明确配方法与相关方法的联系和区别，是学会配方法的标志。

（二）框架设计

基于“教—学—评”一体化的作业设计，我们分别从以下维度进行考虑（如下页表1）。

表1 作业设计框架

为此，在内容选择上，要通过实际问题体现学习的必要性，通过对直接开方法的应用延展体现配方法与直接开方法的关系，通过用配方法解不同形式的方程，实现掌握配方法的目标。在呈现形式上，要与教学方式相呼应，体现问题驱动和因材施教。

（三）具体设计

【客观题】

填空题（一）：

1.x2+10x+25=（x+____）2

2.x2-12x+____=（x-____）2

3.x2-____=（x-____）2

4.x2+px+____=（x+____）2

填空题（二）：

1.x2+6x+____=（x+____）22.x2-x+____=（x-____）2

4.x2-____=（x-____）2

填空题（三）：

1.4x2+4x+____=（2x+____）2

2.4x2-x+____=（2x-____）2

【用配方法解方程】

解下列一元二次方程（一）：

1.x2=5

2.（x+2）2=5

3.x2+12x+36=5

解下列一元二次方程（二）：

1.x2+10x+16=0

2.x2-x-=0

3.3x2+6x-5=0

4.4x2-x-9=0

解下列一元二次方程（三）：

1.2x2-7x+6=0

2.3x2+8x=3

3.x2+px+q=0

【配方法的应用】

解应用题（一）：

1.使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽应各是多少？

2.用配方法证明x2-10x+26的值永远大于0。

解应用题（二）：

1.梯子滑动的问题。一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端与地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？

2.试用配方法证明。不论a取任何实数，a2-a+1的值总是一个正数。

以上每组题都分两三个层次，供学生选用，总体习作时间在30分钟左右。

“教—学—评”一致的作业设计的最终目标在于育人，巩固基础知识，完善知识内化的过程，发展学生未来学习应具备的关键能力和核心素养。因而需要教师转变教育理念，理解课程目标，不断实现课内外学习的有机整合。

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