基于后向加边算法的城市轨道交通网络弹性优化研究
程驰尧，牟能冶,2,3
（1.西南交通大学，交通运输与物流学院，成都 611756；
2.综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室，成都 611756；
3.综合交通大数据应用技术国家工程实验室，成都 611756）
轨道交通系统作为城市主要的功能模块之一，其网络的风险抵御能力是推进城市安全发展的重要保证[1]。城市轨道交通网络发生故障，不仅会对城市交通系统造成巨大压力，还会给居民生活带来严重影响。例如：2021 年3 月，南京地铁1号线首发站迈皋桥站突发设备故障，导致迈皋桥站至1 号线后续26 个站点上下行运营中断，全线列车限速，运行发车班次间隔延长；
2021年7月，广州地铁21 号线中间站神舟路站发生水浸，使得21号线上黄村站至苏元站这一区间共计6 个站点暂停运营，4号线和6号线换乘也受到影响。因此，建立以提高城市轨道交通网络弹性、增强网络风险抵御能力为目标的评估和优化体系至关重要。
1973年，Holling[2]首次使用弹性作为衡量生态系统应对外部冲击能力的指标，基于生态系统在多起意外事件下的行为变化分析，论证了弹性概念在风险评估方面的可行性，此后，弹性的概念被广泛应用于多类系统的风险分析，在城市轨道交通安全领域更是受到国内外学者的广泛关注。Zhang[3]将网络弹性定义为节点中断后通过适当的修复措施将连接快速恢复到可接受水平的能力，他提出了一个通用框架，通过定量分析恢复速度的方式来评估大型复杂地铁网络的弹性，并以上海地铁为例进行了方法验证。鞠艳妮[4]等在分析城市轨道交通网络拓扑结构的基础之上，结合网络无标度特性，以网络效率为节点连通性指标对网络弹性进行判断，并通过弹性评价识别关键节点，以此从全局角度提出最优故障恢复策略。Cheng等[5]考虑了乘客出行路径和网络结构之间的联系，提出了基于实际需求的轨道交通弹性绩效指标分析网络中断下的性能损失，并以成都地铁网络为例进行了方法有效性验证。Li 等[6]分析了北京地铁近年来的多起中断事件，基于客流计算了节点的加权度，分析多种中断情形下北京地铁网络的弹性变化情况，形成需重点维持和保护的节点体系，并提出了应对策略。潘守政等[7]从系统弹性的角度出发，采用失效节点比率和运营效率作为评价指标，深入分析环线结构在网络失效和恢复过程中的影响作用，并以北京地铁为例，得出越靠近中心的环线会比外围环线更加重要这一结论。
为了减轻扰动或中断对于网络弹性的影响，许多专家和学者提出了一些通过改变网络拓扑结构来提高网络弹性的方法和机制。Safaei等[8]提出了一种基于熵的网络重布线机制，在维持网络总度值不变的前提下，对节点间的连线进行重新分配，通过均衡各节点度值来提高网络弹性。Lou等[9]对重布线模式下的度保持策略、底层拓扑保持策略和随机布线策略进行了比较分析，得出度保持策略在提高网络弹性和维持网络功能方面整体最优这一结论。Yang 等[10]设计了一种三步拓扑调整方法，将网络按照社团结构进行划分，使每个社团的内部结构表现为洋葱状结构，然后通过低重要性的节点将不同的社团连接起来，实现增加网络延展性、加强网络弹性的目的。Liu 等[11]提出了一种模因算法，在保持每个社团的度分布和社团内链接数量不变的约束条件下，对社团内部、外部节点连接情况进行判断，分两阶段进行弹性优化，以美国航空网络为例验证了算法的有效性。Sebastian等[12]基于离散社区算法，对各社区之间的重要边进行识别，并采用弱连接的加边策略，对社区间的连接进行加强，从而实现网络弹性整体的增强。朱倩[13]在复杂特性和节点连接偏好特性基础上，采用点强度作为节点连接度的偏好连接机制，构建了一个具有增长和偏好连接机制的网络模型，对高铁快递网络进行了优化。
既有研究多基于节点判断，选择一定数量的节点形成节点集，通过对节点集进行重布线或增边操作，以实现网络弹性提升的目的。选择方式以节点自身属性或社团地位等静态指标为主，较少分析网络在发生全部或部分中断等动态情形下节点的属性变化对于选择的影响，且优化方案缺乏花费成本等现实约束的综合度量，成果可行性存在一定不足。鉴于此，本文在建立同时考虑网络运行能力和运作效率的弹性评估体系基础之上，基于后向加边算法，联系社团理论，提出了一种“节点集”的动态选择方法和体现现实约束的弹性优化模型，并以成都都市圈为例进行分析和验证，以期为城市轨道交通网络的安全高效运营提供借鉴。
Mu：Lao Yang，you’d better sign this contract（签卖身契）.Or，you know，Master will be very angry!
1.1 城市轨道交通网络弹性评估体系
在本文的研究中，网络弹性应包含两个维度：一是运行能力维度，能够正确衡量轨道交通网络面临全部或部分中断时，网络中能够维持运营的节点和边的整体情况；
二是运行效率维度，能够精准评判轨道交通网络面临全部或部分中断时，网络提供正常服务的能力和水平。因此，本文在复杂网络拓扑指标分析的基础上，参考Mou等[14]提出的弹性公式，基于运行能力和运作效率的双重考虑，构建轨道交通网络弹性评估体系，如下所示：
傍晚，我靠着逐渐暗淡的、最后的阳光指引，走过十八年前的故居。这条街、这个建筑物开始在我的眼前隐藏起来，像在躲避一个久别的旧友。但是它们改变了的面貌于我还是十分亲切，我认识它们，就像认识我自己，还是那样宽的街，宽的房屋。巍峨的门墙代替了太平缸和石狮子，那一对常常做我们坐骑的背脊光滑的雄狮也不知逃进了哪座荒山。然而大门开着，照壁上“长宜子孙”四个字却是原样地嵌在那里，似乎连颜色也不曾被风雨剥蚀。我望着那同样的照壁，被一种奇异的感情抓住了，我仿佛要在这里看出过去的十九个年头，不，我仿佛要在这里寻找十八年以前的遥远旧梦。
式中：R(G)表示网络弹性；
GC表示网络连通度；
GE表示全局网络效率；
GD表示网络密度；
FC表示网络融合中心性。
从各指标的意义来看，GC、GD是网络运行能力的重要衡量，而GE、FC则是网络运行效率的重要评判，计算如下：
（1）网络连通度GC
图A1中的算法描述了多个地震事件检测的归一化质点滤波的概要。
“CONVERGED”（收敛）的判据可由理想条件来取代（例如在估计‖＾θt－10－＾θt－1‖＜δ 时发生变化）。
考虑到当网络遭受冲击导致若干节点失效时，一个连通性良好的网络被波及的节点数量较少，可避免网络发生大范围中断，因此，网络连通度与弹性成正比：
式中：GC表示网络最大连通子图包含节点数量与网络初始节点数的比值；
Np表示网络最大连通子图包含节点数量；
N为网络初始节点数。
为精准解决成都都市圈轨道交通网络的运营安全问题，针对成都都市圈轨道交通网络可能面临的中断情形，本文从中断来源和影响程度两个方面对其进行分类：在中断来源方面，分为带有目的性的干扰（人为破坏）和随机突发事件干扰（设备故障、自然灾害、公共卫生事件）两种情况，映射复杂网络中的蓄意攻击和随机攻击两种模式；
在影响程度方面，设备、人员、环境、管理等因素均可能导致成都都市圈轨道交通系统运营受到影响，影响因素的不同使得轨道交通网络站点被波及的范围和受影响的程度有所区别，映射复杂网络中的累计失效和单点失效两种情况。本文将基于以上情形对成都都市圈轨道交通网络弹性变化及内在机理进行分析。
全局网络效率通常用来反映整个网络中节点与节点之间连接的难易程度，因此与网络弹性成正比：
式中：GE反映节点之间连接的难易程度；
N表示节点数量；
dij为从节点i到节点j的最短路径上的边数。
（3）网络密度GD
如果成都都市圈轨道交通网络发生局部破坏，如地震、洪涝等，网络密度越高，受影响的站点和路段就越多，对维持网络正常运作产生不利影响。因此，网络的密度与其弹性成反比：
式中：GD表示节点之间连接的稀疏程度[15]；
ep表示网络正常运营连边数量。
弹性填料密封，采用涂有耐油橡胶的尼龙布袋(也有直接采用丁腈橡胶)作为与罐壁接触的滑行部件，内部装有弹性海绵或软泡沫塑料块，利用这类弹性填充物来达到与储罐罐壁密封。这类密封在实际应用中占比最大。
“我国目前已掌握世界上全部钾肥生产技术，钾盐综合利用率由最初的27%提升至80%以上，钾盐自给率由完全依赖进口上升至58%，在提升中国国际钾肥市场话语权的同时，中国已成为世界钾肥贸易价格凹地。盐湖钾肥、盐湖循环产业已经成为青海在国家乃至世界的品牌。”青海盐湖工业股份有限公司总裁谢康民在8月22日召开的“2018钾盐钾肥大会暨格尔木盐湖论坛”上表示。
融合中心性定义为网络中所有节点中心性的平均值，反映了网络中节点的集中程度。轨道交通网络的集中程度越大，表示站点之间的联系越紧密，如果一个站点被破坏，越有可能造成大规模的路由影响。因此，较高的融合中心性降低了网络的弹性，即融合中心性与弹性成反比：
式中：将节点i的度中心性值、紧密中心性值和中介中心性值进行归一化和标准化处理后分别用CC(i)、CD(i)和CB(i)表示。
Hi计算公式如下：
依照前面论述，节点重要度评估是蓄意攻击中必不可少的一环。常用的节点重要度评价指标包括：度、介数、节点中心性等，侧重于从节点自身邻接属性出发进行节点重要性判断，鲜少有研究从节点聚集特征方面进行度量。事实上，大量的研究表明：轨道交通运营网络各节点表现出不同的连接倾向性，可聚集为不同的簇，对网络运作过程造成极大影响[17-19]。因此，本文将基于节点体系的簇划分，构造基于社区结构的节点重要度评判体系对成都都市圈轨道交通网络节点的重要性进行度量，公式如下：
式中：BM(i)为节点i的重要度；
Hi为节点i的社区密度熵；
DeDi为节点i的度值；
Bi为节点i的介数值；
N为网络中的节点总数。
二是创设具有“行知教育”气息的人文环境，发挥环境育人的功效。以生活教育为载体，全心“学陶”“师陶”和“研陶”，以“爱满天下”的情怀善待学生，逐渐形成了“行知文化”特色：学校把陶行知的塑像请进校园，让师生瞻仰的同时，也显示着学校的教育特色。围绕着“行知教育”，学校建立了楼道阅读长廊、行知文化宣传栏等。人文的校园环境，彰显着学校“行知教育，育人行知”的办学理念。
轨道交通网络的中断事件映射复杂网络中的节点失效，因此，攻击方式的确定对于网络弹性的衡量至关重要。与随机攻击下的等概率失效不同，蓄意攻击的节点删除程序有同步定向攻击和顺序定向攻击两种，前者在初始排序后，按照自顶向下的原则对节点进行逐一删除，并计算由此产生的扰动对网络性能的影响；
后者则在每一次删除步骤中，重新计算节点重要性，同时评估移除最重要节点对网络性能的影响。研究发现，顺序定向攻击比同步定向攻击更具危害性且与实际情况更为贴合[16]，在后续仿真中，本文将采用顺序定向攻击策略进行研究。
1.2 清理的方法可分为割除清理、火烧清理和用化学药剂清理。割除清理可以是人工，也可以用机具，如推土机、割灌机、切碎机等机具。清理后归堆和平铺，并用火烧方法清除。也可以采用喷洒化学除草剂，杀死灌木和草类植物。整地方式分为全面整地和局部整地。局部整地又分为带状整地和块状整地。全面整地是翻垦造林地全部土壤，主要用于平坦地区。局部整地是翻垦造林地部分土壤的整地方式。包括带状整地和块状整地。
1.2 城市轨道交通网络弹性优化模型
“重布线”和“增边”是复杂网络弹性优化最主要的两种形式，前者通过重新布线的方式对现有格局进行大幅更改，以适应现阶段的网络需求；
后者在现有格局的基础上增加一定数量的连边，通过在节点集之间创建冗余路径，以提高自身在中断情形下维持自身正常运营的能力。考虑到在实际轨道交通路网中，第一种优化方式工程量大且成本极高，现实可行性不佳，本文将采取第二种方式，通过增加连边的形式来达成轨道交通网络弹性提升的目的。
从功能定位和服务对象看，服务于成都都市圈的轨道交通包含城际铁路、市域（郊）铁路及城市轨道交通快线3 种类型。由于轨道交通车辆具有成对运行等特征，不考虑各路段的方向、运载能力和铁路线级别，将成都都市圈轨道交通网络构建为无向无权网络。考虑到成都都市圈轨道交通网络体系制式多、规模大，在研究过程中，采用Space-L 模型构建网络拓扑结构，即基于现实空间结构，在两个站点间存在一条轨道路段，则视为两站点间存在连边，且二者互为邻居节点。
图1 网络弹性优化的后向添加边算法Fig.1 Posteriorly adding algorithm for network resilience optimization
尽管PA 算法能够使网络弹性得到有效提升，但无序的增边模式在改变网络结构的同时，也可能造成网络结构功能和运行效率发生重大改变。由于社团结构决定了网络功能和拓扑之间的关系，对网络运作效率影响巨大[21]，因此，为了在提高网络弹性的同时减少新连接对网络原有功能的影响，即最大限度地维持网络社团结构不被增边所改变。本文将借鉴PA 算法，将其与社团理论相融合，形成一套适用于确定增边操作的节点集动态选择流程，如图2 所示。其中，社区划分采用了Newman方法，通过求解模块度矩阵的最大正特征值以及对应的特征向量的方式发现社区结构的层次性[22]，这也是目前性能最好、应用范围最广的社团划分方法之一。而网络中的核心节点表述为基于自顶向下的次序，采用每一次重新计算网络节点重要度的方式，连续、动态地删除每一次攻击下社团网络中节点重要度最高的节点，最终找出核心节点和次核心节点。
《诗志》大多数地方属于纯粹文学批评，喜好以后世的诗歌与《诗》相比较，相对其他文学性解经书籍更为鲜明成熟。如牛氏评点《诗经·汉广》说“汉广不可泳，江永不可方，言游女有二汉之隔，婷婷独立，可望而不可即也。正与‘盈盈一水间，脉脉不得语’相似”[19]。评点《诗经·柏舟》说：“忧极不能自遣，算到奋飞一着，真烦骚无聊之至。‘愿为双黄鹄，奋翅起高飞’，古之忧患人于此踌躇多少。”[19]用后世诗句与《诗》对照阐发，注重的是《诗》作为文学的神理气味，读者自行比较不同诗句，则诗歌的妙味不言而自然领悟。这明显不同于汉人注解《诗经》的方式，以考据训诂追求字词确义。
图2 适宜增边操作的节点列表动态选择流程Fig.2 Dynamic selection strategy of node setsuitable for edge adding operation
实际运用中，通过添加节点或边来提高网络弹性往往伴随着资源限制，尽管资源限制在各种应用中有不同的含义，但通常指的是网络变化所导致的经济成本。王辉[23]提出了在城市轨道交通线网规划阶段进行投资匡算的一种快速、合理的计算方法，分析得出轨道交通网络建设的总费用由工程费用、工程建设其他费用、预备费和专项费用四项组成，占比分别约为60%、18%、8%和4%，最终计算得到城市轨道交通建设的单位费用为5.22 亿元/km。因此，本文将以网络弹性作为优化的目标函数，以网络优化成本作为约束条件，构建成都都市圈轨道交通网络弹性优化模型，从第一步的节点集中选择一定数量的节点构建最优边集来解决网络最优弹性的问题。模型如下：
社交娱乐方面，绝大多数学生参加各种社交娱乐的时间和频次正常。学生谈恋爱现象比较普遍，问卷表明，大三学生中谈恋爱的已占到班级的七成以上。而认为谈恋爱对自己产生积极影响、负面影响的，后者略高于前者，约各占三成左右。绝大多数学生在与亲友QQ、微信或电话聊天，参加朋友聚会、聚餐，逛街、购物，节假日及假期外出旅游，到歌厅、茶室等公众娱乐场所玩乐的时间和频次，均在正常范围之内。
式中：di(c)为节点i与社区c包含节点之间的连接关系之和；
Sc为社区c包含的节点总数；
C为社区总数。
目标函数：
式中：cij表示节点vi到节点vj之间是否产生新的连接关系，cij值为1，则节点间产生新的连接关系，反之则无；
wij表示节点vi到节点vj之间的路段连接费用；
B为成本预算；
m表示城市轨道交通建设单位费用，本文取5.22亿元/km；
tij表示节点vi到节点vj之间的实际空间距离，km。
由于构建的成都都市圈轨道交通网络弹性优化模型的解空间较大，需要寻求一种较好的算法得到较为理想的最优边集方案，而模拟退火算法具有通用性、灵活性、高效性，全局搜索能力强，不容易陷入局部最优等优势。因此，本文拟采用模拟退火算法来求解成都都市圈轨道交通网络弹性优化模型，算法流程如图3所示。
图3 模拟退火算法流程图Fig.3 Flowchart of the simulated annealing algorithm
2.1 算例说明
城市群或都市圈的轨道交通建设是“十四五”期间国家和社会经济发展的重要方向[24]。成都都市圈位于成都平原经济区内圈，以成都市为中心,与联系紧密的德阳市、眉山市、资阳市共同组成，是全国经济发展最活跃、创新能力最强、开放程度最高的区域之一（见图4）。随着2021年《成都都市圈发展规划》的发布，成都都市圈同城化、一体化发展进入全面提速期，轨道交通系统也在不断集线成网，结构复杂性倍增，网络中断事件时有发生。
（4）网络融合中心性FC
图4 成都都市圈轨道交通站点空间布局及节点编号Fig.4 Spatial layout and node numbers of rail transit stations in Chengdu metropolitan area
（2）全局网络效率GE
全球常规与非常规石油可采资源量约为9000亿吨，天然气可采资源量约为3800万亿立方米，按现有水平可消费数百年。石油时代的结束不会因为耗尽石油，而是被比石油更优质的能源取代。
《诗经》是我国最早的一部诗歌总集，它收集和保存了周初至春中叶五百多年间的作品，按照《风》《雅》《颂》的体例编撰而成。《诗经》中的作品，是一部反映周代社会的百科全书，具有深厚而丰富的文化积累，食谱文化也是其中一个组成部分。从其中涉及到的食谱，可以感受到先民们已经有了基本的食物养生、祭祀等观念，也可以了解到周人们对食文化的重视。下面就从《诗经》中涉及到的食物来研究食谱文化。
对于“增边”提升网络弹性的问题，Li等[20]提出了一种后向加边的算法（Posteriorly Adding Algorithm，PA 算法），即通过一种动态的节点重要度评判准则，按照自顶向下的次序依次删除网络中重要度最高的节点，将网络裂解为数个连通分量，找寻其中维持网络最大连通分量不完全溃散的核心节点（去掉该节点，连通分量中的连边数量变为0），以及网络完全溃散前与核心节点直接相连的次核心节点，将所有次核心节点构成最优节点集，并通过增加最优节点集中节点的连边关系达成网络弹性提升的目的，如图1所示。该方法的有效性在空手道俱乐部网络、甘肃电网、河南电网等多个现实网络的弹性优化中均得到了验证。
为保证研究结果的真实可靠，本文从成都轨道交通集团官方网站（https://www.chengdurail.com/index.html）、《成都市轨道交通线网规划（2021）》、高铁网（http://www.gaotie.cn/）等多个数据搜集渠道提取了成都地铁1～10 号线、17 号线、18 号线、蓉2 号线，成都市域铁路S1、S5、S10、S11号线和资阳线等多条线路信息，整合处理后得到373个轨道交通站点和500条运营线路。以此为基础，引入站点地理坐标，在复杂网络分析软件Gephi 中生成成都都市圈轨道交通复杂网络模型，如图5所示。
图5 成都都市圈轨道交通网络拓扑结构Fig.5 Topological structure of rail transit network in Chengdu metropolitan area
2.2 弹性评估
为了分析成都都市圈轨道交通网络遭遇突发事件后的动态弹性变化，本文采取单点失效、累计-随机失效、累计-蓄意失效三种攻击模式，分别模拟轨道交通站点遭受突发事件失效的情况。其中：单点失效通过删除网络中单个节点的方式模拟单个站点遭遇突发事件失效的情况；
累计-随机失效、累计-蓄意失效则分别通过随机连续删除网络中节点或基于节点重要度大小蓄意连续删除网络中节点的方式模拟多个站点遭遇突发事件失效的情况。
首先是单点失效情况下的网络弹性变化模拟。为验证弹性测度指标的有效性，将该指标与网络连通度、网络连通效率等网络安全和运作效能指标进行对比，为了更好地比较三类指标对网络性能变化的敏感性，对三类指标计算结果进行了归一化处理，对比结果如图6所示。
图6 单点攻击：网络弹性变化对比Fig.6 Single point attack:comparison of network resilienceperformance changes
由图6 分析可知，单点失效模式下，网络弹性、网络连通度和全局网络效率均出现不同程度的变化，其中大部分节点失效对网络性能的影响较小，仅有少部分节点对网络整体性能的影响较大，表明这类节点是网络中的关键节点。从图像变化幅度可以推断，网络连通度对于节点失效的敏感度相对较低，只有极少数节点发生改变能引起网络连通度变化，不能很好地衡量不同节点失效造成的网络性能变化；
网络弹性与全局网络效率整体性能变化趋势较为一致，但网络弹性变化程度明显更大，这也说明了网络弹性指标在综合评判运行能力和运作效率的同时，对网络性能变化也较为敏感。根据攻击结果，确定了成都都市圈轨道交通网络中影响网络性能的关键节点涵盖了世纪城、中医大省医院、西博城、太平园等成都市域地铁主要换乘节点和成都西站、成都东站、德阳站、资阳北站、眉山东站等城际铁路枢纽节点，其中成都西站、成都东站等站点同时具备地铁枢纽和城际铁路枢纽双重属性，对网络性能的维持发挥重要作用，在实际运营过程中需要重点关注和保护。
于是，习惯了大手大脚的韩莎，不得不算计着过日子。星巴克没了，西餐没了，进口水果也不敢买了，甚至买两斤排骨，杜飞都要心疼半天。
其次是累计失效情况下的网络弹性变化模拟。为验证节点重要度评判指标的有效性，分别选取节点度、节点介数和本文提出的节点重要度指标作为蓄意攻击模式下的节点删除依据，并比较结果，三类指标下网络弹性变化如图7 所示。
图7 累计攻击：网络弹性变化对比Fig.7 Cumulative attacks:comparison of network resilience changes
由图7分析可知，相较于随机攻击，累计-蓄意攻击给成都都市圈轨道交通网络带来的破坏程度更大，无论在哪种攻击模式下，失效节点比率超过20%时，网络弹性均趋近于零，这也反映了轨道交通网络弹性较低，抵御风险能力较弱的特点。失效节点中，节点重要度指标下的网络性能下降速率略快于节点介数，显著快于节点度，由此可得出相较于度和介数，重要度指标对于弹性变化敏感性更强、排名靠前的节点在轨道交通网络的安全中占据更重要的位置这一结论。对两个指标和节点重要度的重合程度进行对比之后不难发现，整体上而言，介数指标和重要度指标的失效节点重合程度更高，且重合部分节点也是轨道交通系统中客流量最大、中转换乘能力最强的一批站点，包括：成都西站、成都东站、中医大省医院站等，如图8所示。
图8 失效节点重合数目对比Fig.8 Comparison of overlap number of failed nodes
由此表明重要度指标与介数指标具有强相关性，当站点的介数越高，对网络运输路径的影响力也越大，一旦失效对整个网络的破坏性也越大。度指标和节点重要度指标的失效节点重合程度相对低一些，反映出成都都市圈轨道交通网络存在节点聚集特性明显且局部网络活跃度较高的特性，当度值较高的节点失效之后，局部网络各自运作，较好地维持网络弹性。随着失效节点比例的增多，度、介数指标和重要度指标的节点重合程度差距也在不断缩小，可见成都都市圈轨道交通网络节点体系层次较为分明，重要度靠前的节点往往具备较高的度值和介数，各指标之间存在一定相关性。
由表2及图1可知,前两组数据拟合程度较好,数据原点附近最小相对误差为1.1314%；
后面几组拟合较差，其相对误差超过10%,而且距离原点数据越远误差越大,这也正符合灰色预测的特征,即:适用于短期预测,而长期预测误差较大。
2.3 弹性优化
根据1.2 节中的网络弹性优化模型，用Matlab2018a 模拟了自顶向下攻击模式下网络中社团的节点失效情况。基于Newman方法，网络被划分为20 个社团，且各社团内节点与轨道交通各运营线路包含站点具有高度重合性，如图9所示。
图9 成都都市圈轨道交通网络社团划分示意图Fig.9 Schematic diagram showing node set of rail transit network in Chengdu metropolitan area
根据成都都市圈轨道交通网络各个社团包含节点的情况，核心节点和次核心节点连接情况共有两种：一是三个节点首尾相连，形成中间核心节点和两个次核心节点；
二是两个节点直接相连，互为核心节点和次核心节点，这使得每个社团生成了两个次核心节点加入节点集，如表1 所示，表中中转节点记为1，非中转节点记为0。分析可知，节点集包含节点大多为非中转节点，枢纽地位不强，但集点成线将使网络的延展性和弹性大幅增加，在后续的都市圈轨道交通一体化建设中应重点分析和考虑。
表1 成都都市圈轨道交通网络“节点集”Tab.1 Node set of rail transit network in Chengdu metropolitan area
受建设成本的影响，在节点集中选择部分节点进行增边操作，由于成都都市圈交通网络规模较大，少数几条连边对于网络整体弹性变化影响不大，本文在多次试验之后选择500作为起始约束条件，在此基础上进行递增，在不同比例的节点中断下，模拟不同成本预算下成都都市圈轨道交通网络在遭受累计-蓄意攻击下的弹性变化过程，如图10所示。
图10 中，不同成本预算下各个优化方案的初始网络弹性都较原网络有所提高,网络溃散点也相对延后，说明在正常运营和节点失效的情形下，优化方案均能够通过增加网络中节点的连接从而提升网络弹性。为了进一步分析不同层级节点失效对网络效能的影响程度，计算[5002 500]成本区间内的新增边数（A(e)）、实际成本（Cost）以及初始网络弹性（IR(G)）和累计-蓄意失效下的网络弹性（UR(G)），并在此基础上分别计算两种情况下的单位成本弹性增量，分别用CR1、CR2表示，考虑到累积-蓄意失效模式下网络的动态性，网络弹性值取各失效阶段平均值，对比各指标计算结果，制定最优方案，如表2所示。
表2 成本约束下成都都市圈轨道交通网络属性分析Tab.2 Attribute analysis of rail transit network in Chengdu metropolitan area under cost constraints
图10 成本约束下成都都市圈轨道交通网络弹性变化Fig.10 Changes in resilience of rail transit network in Chengdu metropolitan area under cost constraints
由表2可知，五个方案下，初始-网络弹性的值分别为1.230 7、1.257 6、1.295 8、1.348 5、1.370 6，表明在无突发事件发生的情况下，增加连线对于提高网络运行效率能起到一定作用，且连线增加数目越多，网络运行效率越高，这也意味着本文所提出的弹性优化策略对网络原有结构和功能影响较小。累计-蓄意失效下的网络弹性值分别为0.017 88、0.024 58、0.025 41、0.022 48、0.026 08，表明增加连线虽然能提高网络运行效率，维持网络安全，但并非增加数目越多，网络增幅状况越好。当连线过多时，网络中断情况下受影响的站点就越多，对维系网络正常运作将产生不利影响（如：方案二、四或方案三、四）。而对两种模式下网络的单位成本弹性增量进行计算后不难发现，方案一的结果显著优于其他四项方案（见图11）。
图11 不同方案下单位成本弹性增量Fig.11 Network resilience improvement range and actual optimization cost under different schemes
因此，本文选择方案一作为成都都市圈轨道交通网络线路优化方案，由天府商务区、金华寺东路、省骨科医院、双店路等在内的9 个节点和8 条连边组成，总花费452.197 亿元。相较于原始网络，初始网络弹性和累计-蓄意失效下的网络弹性分别增加23.07%、11.26%，改善了成都都市圈轨道交通的衔接状况，提高了网络的运作效率和运作安全性，优化后的网络如图12所示。
图12 成都都市圈轨道交通优化网络Fig.12 The optimized network of rail transit in Chengdu metropolitan area
本文构建了一个同时考虑运行能力和运作效率的弹性评估体系和基于后向加边算法与现实约束的弹性优化模型，以成都都市圈的轨道交通网络为例进行分析验证。通过仿真研究发现，弹性指标对网络性能变化敏感性较强，对其影响最大的关键节点是轨道交通系统中客流量最大、中转换乘能力最强的一批站点，它们同时有较高的节点度和介数，一旦失效会对网络弹性造成巨大破坏，需重点维系和保护。弹性优化中，轨道交通网络最优节点集所含节点大多非中转站点，枢纽地位不强，但集点成线将使网络的延展性和弹性大幅增加，在考虑经济效益的前提下可适当对这些节点进行增边设计，实验结果也证明了所提方法的有效性，这将为未来的轨道交通系统规划布局提供重要的理论依据。
未来的研究中，考虑结合更多的系统外部因素，在问题模型方面引入更多现实约束条件，如：建设时间、交通限制、居民圈影响等，并设计精度更高、收敛速度更快的算法进行运算。
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