数学脚本理论初探

林怡静，赵继源，尤茹松

(南宁师范大学 数学与统计学院，广西 南宁 530100)

教学本质问题一直是教学实践改革的关键性问题，也是教师在教学过程中应反思的问题。教学必然要传递经验或知识，但教学并不是简单地将课本中的知识内容进行讲述并传递给学生，它受师生双方的互动、学生知识观或态度等因素的影响。教学活动本质上是一种理解活动，它是师生在具体的情境中实现知识持续构造和价值辩护的介入性实践活动。[1]受知识生成及建构的情境性和开放性的影响，学生在教学活动中并不是刻板地接受知识。他们不是“静听者”也不是“浅层对话者”，在教学活动中，他们带着自己的思维和理解不断地建构自己的知识构架。这也是为什么同样的教学环境，同样的授课方式，却出现成绩间差异的原因之一。

教师对教学本质的认识影响其教学质量和学生学习的结果。意识到学生对知识的理解是他们知识建构的重要环节，再加上受“以学生为中心”的教育理念的影响，许多教师都支持教学应以引导学生之间的学习活动为主。《义务教育数学课程标准(2022年版)》也指出教师引导学生参与教学活动需要从学生已有的知识经验出发[2]。学生是如何获得学习经验的？学生已有的经验以怎样的方式呈现？如何检测学生已拥有哪些先验知识？都是教师和研究者关注的问题。特别是在建构主义理论的指导下，学者们开始研究数学表征的解释性理论，开始探索数学中表征形式的作用，开始关注学生在学习过程中的所思所想。许多学者试图通过研究来解释情境化的行动导向概念是如何转变成更高抽象水平的概念，将数学研究的关注点上提至高级思维，这确实有助于教育者在引导学生建立数学概念的过程中更加关注学生思维的发展。[3]

学生经历学习过程一定有思维的参与，包含自身对参与数学活动过程的感悟与归纳。数学思维反映人脑与数学对象的交互活动，从认识论的角度来看，思维方式可以看作人的认识定势和认识运行模式的总和[4]。因此，依托思维挖掘学生的认知水平，有助于我们洞察思维和问题解决的本质，也有助于我们探索两者的关系。

我们常说学生对某个概念是否理解会反映在其解题过程中，“数学理解”概念源自于认知心理学对“理解”的界定，是以信息的内部表征作为解释的基础。知识的表征与理解密切相关，而知识的理解推动数学问题的解决。从数学问题解决的过程中考查学生知识的表征，从表征中解释学生的理解水平是认知心理学在教育研究中的应用。黄燕玲等人指出数学理解包括陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解，学生对三种知识的理解分别体现在获得该对象的图式、建立产生式系统、形成关系表征和观念表征上。[5]因此，利用图式、产生式等理论指导数学教学是很有价值的课题，国内已经有不少学者做了相关研究。本文结合已有的脚本理论提出“数学脚本”这一新概念，并进一步分析其特点，期待对数学学习理论的探讨提供一种新的研究视角和路径。

2.1 理论基础

2.1.1 脚本

“脚本”一词最早出现于心理学家对记忆的研究中，当时没有“脚本”一说，而是称作“图式”。心理学家F.Bartlett最早提出图式(schema)的概念：图式是知识表征的集合，是个体将经验和信息组织成的知识结构储存在记忆中，在接受新信息时进行筛选、重新组织融合，融入到一个特定的框架中。而脚本理论最早由计算机科学家Schank和Abelson提出(1977)，他们将心理学的图式理论应用于人工智能研究，并定义“脚本”：在特定情境中描写相应事件序列的结构，它通过提供预先设定的、常规性的连贯动作，限定一个熟知的背景，使得更多活动能在这个背景中展开[6]。脚本来源于生活经验，是生活经验的提炼，脚本越多生活越便利。例如：去餐厅吃饭、到超市购物、去医院看病等，都是一个个在特定场景中由动作序列组成的脚本。这些有情节、有程序的脚本储存在个体的长期记忆中，在遇到类似情景时，这些记忆被调动以此作为当前行为的参照[7]。脚本仿佛是个体通过写有字幕的动画、插图的方式来对事件的记忆进行存储[8]。

“脚本”一词在认知科学领域具有很长的历史，其观点也经历了从大而稳定的认知结构(标准化的事件序列)向多种组件构成的动态认知结构的转变过程。最新脚本理论观点认为脚本是灵活的，个体会根据不同情境和个人目标的需求进行重新组合，因此脚本具有情境性。[9]由此可知，脚本是一种高层次的知识结构，可以在理解过程中提供背景信息。脚本由一系列事件组成，这些事件形成一个老套的情节，只要其中的一个或多个事件被激活，一整系列的事件也随之被激活[10]。当然，脚本内部所包含的信息是有序的，类似于“成因链”，一系列的“成因链”串连组成时间序列，共同构成动态性、程序性的认知结构。

2.1.2 脚本相关研究

脚本描述了特定情境下按时间顺序组织的活动。人们根据头脑中存储的脚本知识来理解和记忆不同的场景。机器同样可以学习相应的脚本知识从而做出与事件相关的推断。人工智能研究中的“脚本”是指以某种格式书写的指令列表，通常包含某些自动化任务的方向。因此，在人工智能领域，研究人员引入脚本学习为机器编译脚本知识，帮助机器理解自然语言和得出类似人类的结论的结果。例如在自然语言处理(NLP)任务中，机器通过脚本学习能够预测、提取事件，能够解析话语和识别意图并做出问题回答等等[11]。又例如在计算机支持的协作学习中(CSCL)，研究人员可以为协作学习设置特定的指令，以激活个体内部协作脚本为目的来设计外部协作脚本作为学习过程的指导。外部协作脚本包括在CSCL环境中呈现的提示和交互规则，是协作学习的指南[12]。

脚本理论除了应用在人工智能领域，也被其他社会认知领域所应用。在不同的学科领域中“脚本”起不同作用。在心理学中，它是一种记忆结构，能够在特定情境下指导学习者的理解和行为；
在计算机科学中，它是一种可执行文件，供程序员创建和调试系统；
在戏剧影视文学中，它是拍摄、表演所依据的底本，呈现故事的大体发展脉络；
在教育学中，它是学生群体知识构建过程中的学习支架[9]。

而不同的领域应用脚本进行研究有不同的目的倾向。脚本的概念被广泛应用于心理学领域帮助解释儿童的行为和成人语言理解的过程。从中国知网进行数据检索，可以发现我国大陆对脚本理论的应用研究几乎分布在语言教学、语义理解及语言互译的领域中，仅有极少部分应用于内科护理、销售等行业。凌仪玲等人应用脚本理论研究顾客在接受服务时内心的期望，发现若该服务接触情境符合顾客内心的脚本则会产生积极的影响，若两者不相符则产生消极影响，服务行业者及时采取补救措施可以达到顾客的二次满意[11]。

台湾学者将脚本理论应用于教育教学领域的成果比较丰富。江世豪和郭重吉认为学生对于科学学习活动事件的先前经验可以透过脚本来呈现，通过脚本取向的分析方法，可以了解学生学习活动时的心智表征，探究教师教学活动和脚本顺序以此改进教学[8]。周春美和沈健华利用行动研究法对10位中职商业类科专任教师的教学互动和脚本活动进行分析，从中总结出各专家教师的核心脚本、期望脚本和正向脚本，以此来了解师生互动过程的教学认知技能，并建构学科的教学脚本，作为师范生的教育教学技能参考[12]。在各位台湾学者的研究中均涉及一个词“认知脚本”，它是脚本理论与认知心理学、教育学的结合。教学活动中包含的教学场景、教学行为动作及学生学习行为等因素，恰好对应认知脚本的“情境性”、“场景动作”等特点，说明将脚本理论应用于教育教学领域具有可行性。

近年来，国外开始使用脚本作为数学教育的研究工具。Zazkis等人对此做了相关研究，他认为该研究方法虽较为新颖，但却是以苏格拉底式的对话和数学思想发展的对话交流为基础。例如，他将数学证明的过程以想象课堂对话的方式让学生进行脚本编写并给予学生相应的脚本提示，通过分析学生脚本中的内容，了解学生对证明中涉及的数学概念的理解方式和了解学生学习数学概念的困难之处。将数学问题的识别与解决过程以开放式提示的方式考察学生，能够弥补简单地通过书面作业或口头问答来了解学情的不足[15]。

脚本的相关研究不仅扩充了其在认知领域的理论基础，也证实了其理论应用的可行性。因此，本文尝试将其与数学学科教学结合，提出“数学脚本”新概念。

2.2 数学脚本的特点及分类

学生的数学学习脚本(本文均简称数学脚本)就是学生个体在数学活动中，按照自身的认知水平所构建的行为序列结构，它包括情境、经验等，作为日后和外界互动的依据。数学脚本是个体/群体的一种认知结构或心智表征，数学脚本被应用的具体表现为：在某个数学活动情境中，学生为了完成某种数学任务，以头脑中存有的数学活动行为序列，即数学脚本作为样本指导自己的行动，并对此时面临的情境做出回应。例如，学生上一堂数学课的数学学习脚本应该采取诸如“提前预习——准备好用具——做好笔记——认真听课”等一系列的行为，以此保证听课活动的完整性和高效性。再如，面对一道解方程的题目，学生懂得采取“审题——分析——设未知数——找等量关系——列方程——解方程——检验结果”等一系列行为来处理题目，并根据不同的问题情境灵活应变。

2.2.1 数学脚本的特点

数学脚本具有可预测性、个体差异性、可描述性、情境性等特点。

可预测性：也可称为行为序列可见性，即个体在特定情境下对行为序列的感知。当面临熟悉的情境，个体头脑就会提取出相应的脚本，并对接下来的行为做出预判。

个体差异性：从建构主义者的观点来看，知觉是内发、主动的。在教学活动中，学生带着自己的思维和理解不断地建构自己的知识构架，形成自己独特的数学脚本。因此，不同个体的数学脚本是有差异的，往往带着个体的情绪认知。后期我们也将通过实证研究来探讨学生数学脚本的个体差异性。

可描述性：虽然数学脚本具有个体差异性，但是对于某一个具体的数学活动，其大体的行为序列是可以描述且呈现的。学生可以通过观看数学学习活动脚本的范例，对从未连接的内部学习脚本进行行为序列构建，并在后续的学习过程中不断实践应用，从而以应付灵活多变的情境。

情境性：数学脚本是在特定情境中生成的，并且脚本的使用过程中也会受情境的影响。任何知识的构造与辩护都有其情境依赖性[1]，数学脚本也如此。学生在数学学习活动过程中，发现已有的数学脚本无法解决此情境下的问题时，就会对脚本进行重新配置。只有当学生能够充分体察所接触的情境，构建生成自己的数学脚本并积极改造脚本以适应新的情境时，数学脚本才能发挥价值。

2.2.2 数学脚本的分类

依据不同分类标准，我们对数学脚本做如下两种分类。

按照数学脚本的层次不同，将其分为：一般性脚本和特殊性脚本。一般性脚本是指每个年级的学生都会涉及的脚本，例如上数学课、合作学习、考试、解决问题、遇到难题等的脚本。特殊性脚本也即数学解题脚本，是指不同年级由于知识学习的范围不同，掌握的数学脚本不同，例如分解因式、画函数图像、解应用题等的脚本。

按照数学脚本的来源不同，将其分为：数学内部学习脚本和数学外部学习脚本。数学内部学习脚本是指学生通过平常的学习互动过程构建并存储在大脑中的行为序列结构，帮助学习者在动态的学习环境中规范化地行动(例如上数学课)，或是在灵活多变的解题环境中以有意义的方式理解题意和选择策略(例如各种解题脚本)。数学外部学习脚本是指学习者以外的人按照某种准则制定的行为序列文本，例如教师提供给学生的学习文本资料、教师教给学生的某种解题策略。它会比个体自身的数学内部学习脚本更全面，个体常常会基于自身的理解和需求，选择数学外部学习脚本中某部分行为序列建构形成自我的内部学习序列。

内部学习脚本是灵活的，在学习者的学习活动过程中，它并不是固定不变的，个体能够根据外部环境的变化及时地调整适应。例如在数学考试中遇到难题时，有的学生会先跳过，把会的题目做完再来解决难题；
有的学生就会一直纠结于此，而浪费不少时间；
有的则会直接放弃。如果数学内部学习脚本不够详细就会导致在数学学习的过程中某些行为序列缺失，导致学习不顺畅。内部学习脚本还具有层次性。数学内部学习脚本是学生通过平常的学习互动过程构建并存储在大脑中的自适应的行为序列结构，如前个体差异性所述，不同的个体形成的内部学习脚本不同，因此，数学内部学习脚本就有优劣之分。高层次的数学内部学习脚本呈现出高效率、高质量的学习状态。例如在数学解题中，拥有高层次的数学内部学习脚本的个体在解题速度、解题步骤的简洁性上会优于低层次的个体。

数学外部学习脚本能够协助学生应对多变学习环境，具有普适性。当学生的内部学习脚本不足以支持完成数学学习活动时，就需要教师的外部学习脚本来帮助。教师在课堂上不断地渗透数学外部学习脚本，以强化学生对数学脚本的认知。数学外部学习脚本需要学生对其充分理解加之不断应用，才有可能内化为学生的数学内部脚本。而数学外部学习脚本也只有通过学生不断地体验和应用，最后转化为内部脚本，才会起到其应有的作用。

提及数学脚本，就避免不了考虑数学脚本和数学图式、数学技能、数学方法之间的关系。虽然数学脚本与它们三者联系密切，但存在本质区别。

3.1 数学脚本与数学图式

数学脚本和数学图式一样都是存在于个体头脑中的心理表征结构体，个体拥有的数量越多、质量越高则解决问题的能力就越强。两者都具有灵活性、预测性，只要某一部分被激活就能自动通达并执行相应的程序。它们的区别在于数学图式是知识集，而数学脚本是面对问题时的行为序列集。数学图式以组块、单元的形式出现，而脚本是以链状的形式出现。图式能够向四方扩散，如在一个原有的图式中加入新的图式，它可以以嵌套的方式从某一部分进入，只要求新进入的图式中的某一部分与原有图式有关即可，不必同脚本一样新旧间的嵌套需要有严格的前后连接顺序(见图1)。换句话说，脚本更强调顺序的前后衔接。

图1 图式和脚本的拓展

图式表征的是知识的单元和“组块”，可以表征不同抽象水平的知识，有抽象和具体之分，而脚本表征的都是具体的行为动作或图像，有高低级之分，但没有抽象水平之分。数学脚本更受社会互动、社会文化的影响。

3.2 数学脚本与数学技能

数学技能比较客观，有一定的规范样本可作为技能习得的参考，而数学脚本的主观性更大，往往带有群体的社会文化性。技能需要经过有目的、有计划的训练形成，而脚本是个体在接触各种不同情景之时就开始主动地建构的。例如，人一出生就通过观察他人(如父母、朋友等)的社会互动行为构建相应的脚本，个体从踏进教室门的那一刻起就不断地在构建数学脚本。数学脚本呈现行为活动方式，而数学技能不仅包括行为活动方式还包括心智活动方式，所以在呈现方式上数学脚本比数学技能更外显。

3.3 数学脚本与数学方法

数学方法用数学语言表达事物的状态，数学脚本却不一定，它可以是自然语言也可以是数学语言，对语言存储的要求不那么严格。数学方法的使用范围很广，数学方法不仅应用在数学学科中，还可以应用在其他学科领域。而本文提出的数学脚本能否迁移还有待考究。虽然数学方法具有高度抽象性、严谨性、精确性，但面对无法量化的因素，如人际互动、情、爱等，数学方法也束手无策。[13]而数学脚本的灵活性、可调整性，让个体能更好地随机应变以适应突发状况。例如，在数学合作学习中，每个人都会有自己的数学合作学习脚本(合作学习行为序列)，而在实际的行动过程中，我们或许会与合作者产生分歧，但是通过认知评判，个体会不断调整合作脚本以达到促成更好协作的目的。倘若合作双方在应该采用哪个数学方法这一问题上产生分歧，面对这样严谨的事物已不适合讲情义，互相谦让，而是哪个更加严谨就采用哪个。

教学活动是一种双向互动的活动，教师在改进教学的过程中，需要关注学生学习的掌握和适应问题。数学脚本理论诠释了学生对于数学学习活动的知觉和心理历程，为教师了解学生的学习状态、学习水平提供了新的理论和方法支持。在数学教学活动中，学生如何知觉教师的教学意图，可以透过数学脚本来呈现。Abelson(1981)曾提出脚本是一系列期望的包裹，数学脚本不仅能反映学生的知觉，也能反映学生对教师在教学活动中的行为期待值。因此，学生的数学脚本可作为教学改进的依据。

教师帮助学生构建知识间的联系，帮助他们形成良好的学习习惯是十分重要的，特别是对于学困生、低效的学习者来说，改善他们的学习脚本也是有效的敦促途径。学生如果正确掌握各类数学学习脚本，在平常的数学活动中就会以此为参照，能轻松自如地应对各种情境变化下的突发情况。甚至在解题过程中，学生能够通过数学脚本预测出题者的出题思路从而提高解题效率。

此理论的提出是为后续实证研究奠定基础。一方面，通过检测鉴定学生当前的数学内部学习脚本的层次水平，教师能够及时调整教学策略，进而提供给学生合适的数学外部学习脚本；
另一方面，许多问题依然存在，例如：为何在同一教学环境中面对同一情境，每个个体的数学内部活动脚本的层次性差异会如此大？教师如何在教学中进行干预？教师应提供怎样的外部学习脚本以促进学生内部学习脚本的更正？以上都是日后研究所需要关注的问题。当然，给学生提供数学外部学习脚本的目的并不是让其依赖外部学习活动脚本，教师也不应该提供给学生一个长期稳定的固定指导，而应该敦促学生学会根据情境变化，及时调整学习脚本以完成相应的数学学习活动。

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